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asp:FileUploadを使わずにファイルをダウンロード・アップロードするには、System.Net.WebClientを使います。

    System.Net.WebClient webc = new System.Net.WebClient();
    webc.DownloadFile(downloadFileUrl, localFilePath);
    webc.UploadFile(uploadFileUrl, localFilePath);

アップロード先のaspでは、Requestの内容をファイルに書き込む処理を書く必要ありです。